Damian Dróżdż urodził się 20 grudnia 1996 r w Częstochowie. Swoje pierwsze żużlowe kroki zaczynał w szkółce Włókniarza Częstochowa. Jednak w sezonach 2013-2014 reprezentował barwy Kolejarza Opole. Od sezonu 2015 reprezentuje barwy Sparty Wrocław. Jednak w ekstralidze żużlowej wystąpił ww zaledwie 4 meczach i odjechał wówczas tylko 10 biegów. 19-letni Damian w debiutanckim sezonie w PGE Ekstralidze uzyskał średnią 0,800 pkt/bieg. Równolegle ze startami w najwyższej klasie rozgrywek, Dróżdź był wypożyczony do Startu Gniezno, w którym wystąpił w dwóch spotkaniach pierwszoligowych.

We Wrocławiu startuje do końca sezonu 2018. Był wówczas drugim Polakiem w składzie Wrocławian, ale w większości przypadków występ w meczach Damiana kończył się na przedmeczowej prezentacji zawodników. Wówczas odjechał tylko 17 biegów w ośmiu meczach. Niestety, nie zaliczył wówczas zwycięstwa biegowego…

Damian miał skupić się na startach na Wyspach Brytyjskich. Młody Spartanin znalazł zatrudnienie w Belle Vue Aces w angielskiej Premiership. A tak o tym facie powiedział Andrzej Rusko, prezes Sparty: Liga angielska dla Damiana będzie takim „żużlowym uniwersytetem”. Z pewnością bardzo dobrze wpłynie na jego rozwój. Tam będzie mógł wiele się nauczyć, a to będzie procentowało przez kolejne lata startów. Kilka tygodni temu rozmawiając z Damianem i naszym sztabem szkoleniowym o jego przyszłości we Wrocławiu, wspólnie wyznaczyliśmy sobie kilka celów. Jednym z nich była Anglia i teraz ten cel zaczynamy realizować.

A Ówczesny trener Wrocławian, Rafał Dobrucki dodał: Liga angielska to w tym momencie najlepsze środowisko rozwoju dla Damiana

Jednak Damian na Wyspach nie zagrzał długo miejsca. W sierpniu Asy zrezygnowały z usług Damiana. Zawodnik Sparty w angielskiej Premiership wystąpił w 19 meczach.  Miał i lepsze i gorsze występy. Zdarzało mu się zdobyć 9 punktów plus dwa bonusy w sześciu startach. Ale też zdarzały mu się występy bez zdobyczy punktowych (nawet w sześciu biegach).

Podczas występów w Premiership Damian zdobył łącznie 87 punktów wraz z bonusami, co dało mu średnią 1,12 punktu na bieg.

Od sezonu 2019 reprezentuje klub, którego jest wychowankiem. Jednak nie wstąpił w żadnym meczu ligowym.

Strzałem w dziesiątkę była przeprowadzka Dróżdża do Krosna. W sezonie 2020 w drugiej lidze wystąpił w 9 meczach Wilków i odjechał 41 biegów. Ze śred ią 2,146 pkt/bieg był 11 zawodnikiem 2 ligi żużlowej.

W zakończonym sezonie reprezentował Barwy Kolejarza Rawicz i znów należał do czołówki żużlowców 2 ligi. Ze średnią 2,044 pkt/bieg zajął 9 miejsce wśród zawodników trzeciego poziomu polskich rozgrywek ligowych.

Damian Drożdż największe sukcesy odnosił jako zawodnik młodzieżowy. W 2015 r. reprezentując barwy Sparty Wrocław wywalczył trzecią pozycję w finale Brązowego Kasku.

W tym samym roku z młodzieżowcami Sparty został mistrzem Młodzieżowych Drużynowych Mistrzostw Polski, a w roku 2017 zajął w tych rozgrywkach drugie miejsce.

Z rozgrywek o Drużynowe Mistrzostwo Polski Damian ma trzy medale wywalczone ze Spartą Wrocław. Dwa srebrne (2015 i 2017) oraz jeden brązowy (2018).

W sezonach 2021 – 2023 Damian Dróżdż reprezentował barwy Kolejarza Rawicz. Jednak z oczywistych względów (klub z Rawicza przestał istnieć) na sezon 2024 musiał poszukać sobie nowego klubu. Jesienią 2023 roku związał się kontraktem warszawskim z zespołem Śląska Świętochłowice. W tegorocznych zmaganiach ostatecznie zabrakło jednak Damiana Dróżdża na polskich torach.

Oto co niedawno powiedział Damian Dróżdż dla portalu po-bandzie.com.pl:
Zająłem się czymś kompletne niezwiązanym ze sportem i na tym się skupiam. Żużel na ten moment odszedł kompletnie na drugi plan. Po prostu, nie owijając w bawełnę, wpływ na moją decyzję miało to, co się działo w ostatnich dwóch sezonach, nazwijmy to, kariery.
Doszedłem do prostego i słusznego z mojego punktu widzenia wniosku, że co ma być, to będzie i jeżeli ktoś uzna, że chciałby, abym jeszcze startował i będzie mnie widział w swoim zespole, to się sam odezwie, a ja na pewno w to na logicznych zasadach wejdę. Jeżeli ostatecznie nikt jednak mnie u siebie nie widział, to podpisałem umowę warszawską z klubem ze Świętochłowic. Widocznie los tak chciał i tak się stało.
Żużel kocham. Jak pewnie każdy, kto ten sport zaczął trenować. Do mojego ewentualnego powrotu musi się nadarzyć odpowiednia okazja. Nie ukrywam, że jak mam gdzieś iść i zmagać się z tym, żeby w ogóle móc jeździć, jednocześnie generując ponownie koszty, to bądźmy szczerzy – mija się to z celem. Lepiej wtedy żużel zostawić.

A tak Damian wspomina swoją przygodę w Rawiczu (za po-bandzie.com.pl):
W Rawiczu startowałem trzy sezony. Pierwszy był w porządku. Na temat dwóch ostatnich nie chciałbym mówić w ogóle i mam nadzieję, że to zrozumiesz. Mam w głowie jeszcze myśl, że może na ten tor i do żużla wrócę i tym samym nie chcę poruszać teraz tego wątku. Kiedy zdarzyłoby się jednak tak, że pomimo tej pozytywnej myśli nadejdzie dzień, w którym definitywnie powiem, że dojechałem do żużlowej stacji końcowej, to pewnie tego samego dnia powiem jak wszystko wyglądało od środka i na pewno da to zdecydowanie jaśniejszy obraz sytuacji, w których się znajdowałem. Nie pora teraz na rozmowę o tych dwóch sezonach i samym Rawiczu. Wracając do pytania, pierwszego sezonu absolutnie nie żałuję, a nie przewidziałem, że później będzie tak, jak było. Gdyby człowiek wiedział, że upadnie, to by usiadł. 

Zawodnik jednak niczego nie wyklucza (za po-bandzie.com-pl):
Żużel to żużel. Mimo niepowodzeń różnej natury jakie mnie spotkały w tych wspomnianych dwóch sezonach, jest „ciąg” do żużla. Bardziej jest to kwesta finansowa. Powiem szczerze. Moja obecność w branży pozasportowej to nie jest przypadek. Gdzieś powiedzmy „tli” się nadzieja, żeby finansowo się odbudować. Jak finansowo będzie taki poziom, jakiego sobie życzę, to myślę, że do żużla nawet z „własnej kieszeni” chciałbym wrócić. 

Statystyki Damiana Dróżdża podczas startów na torach żużlowych w Polsce:

SEZONWIEKKLUBKLASAMBIEGIIIIIIIVDUWTPKTBONRAZEMŚR/B
201317Opole2 Liga26002400002020,333
201418Opole2 Liga10413412141151293320,780
201519WrocławEkstraliga410015400007180,800
201519Gniezno1 Liga26012200104040,667
201620WrocławEkstraliga17565513291030386440,786
201620Częstochowa1 Liga14102100005051,250
201721WrocławEkstraliga1752414181600005814721,385
201721Krosno2 Liga42278420010412431,955
201822WrocławEkstraliga8170131210005160,353
201923CzęstochowaEkstraliga25020300004040,800
201923Poznań2 Liga31442440000201211,500
202024Krosno2 Liga9411810740020817882,146
202125Rawicz2 Liga146928121190000130111412,044
202226Rawicz2 liga11487816140120535581,208
202327Rawicz2 liga732771250010474511,594
RAZEM:112423847511112332151525545791,369