Damian Dróżdż urodził się 20 grudnia 1996 r w Częstochowie. Swoje pierwsze żużlowe kroki zaczynał w szkółce Włókniarza Częstochowa. Jednak w sezonach 2013-2014 reprezentował barwy Kolejarza Opole. Od sezonu 2015 reprezentuje barwy Sparty Wrocław. Jednak w ekstralidze żużlowej wystąpił ww zaledwie 4 meczach i odjechał wówczas tylko 10 biegów. 19-letni Damian w debiutanckim sezonie w PGE Ekstralidze uzyskał średnią 0,800 pkt/bieg. Równolegle ze startami w najwyższej klasie rozgrywek, Dróżdź był wypożyczony do Startu Gniezno, w którym wystąpił w dwóch spotkaniach pierwszoligowych.
We Wrocławiu startuje do końca sezonu 2018. Był wówczas drugim Polakiem w składzie Wrocławian, ale w większości przypadków występ w meczach Damiana kończył się na przedmeczowej prezentacji zawodników. Wówczas odjechał tylko 17 biegów w ośmiu meczach. Niestety, nie zaliczył wówczas zwycięstwa biegowego…
Damian miał skupić się na startach na Wyspach Brytyjskich. Młody Spartanin znalazł zatrudnienie w Belle Vue Aces w angielskiej Premiership. A tak o tym facie powiedział Andrzej Rusko, prezes Sparty: Liga angielska dla Damiana będzie takim „żużlowym uniwersytetem”. Z pewnością bardzo dobrze wpłynie na jego rozwój. Tam będzie mógł wiele się nauczyć, a to będzie procentowało przez kolejne lata startów. Kilka tygodni temu rozmawiając z Damianem i naszym sztabem szkoleniowym o jego przyszłości we Wrocławiu, wspólnie wyznaczyliśmy sobie kilka celów. Jednym z nich była Anglia i teraz ten cel zaczynamy realizować.
A Ówczesny trener Wrocławian, Rafał Dobrucki dodał: Liga angielska to w tym momencie najlepsze środowisko rozwoju dla Damiana
Jednak Damian na Wyspach nie zagrzał długo miejsca. W sierpniu Asy zrezygnowały z usług Damiana. Zawodnik Sparty w angielskiej Premiership wystąpił w 19 meczach. Miał i lepsze i gorsze występy. Zdarzało mu się zdobyć 9 punktów plus dwa bonusy w sześciu startach. Ale też zdarzały mu się występy bez zdobyczy punktowych (nawet w sześciu biegach).
Podczas występów w Premiership Damian zdobył łącznie 87 punktów wraz z bonusami, co dało mu średnią 1,12 punktu na bieg.
Od sezonu 2019 reprezentuje klub, którego jest wychowankiem. Jednak nie wstąpił w żadnym meczu ligowym.
Strzałem w dziesiątkę była przeprowadzka Dróżdża do Krosna. W sezonie 2020 w drugiej lidze wystąpił w 9 meczach Wilków i odjechał 41 biegów. Ze śred ią 2,146 pkt/bieg był 11 zawodnikiem 2 ligi żużlowej.
W zakończonym sezonie reprezentował Barwy Kolejarza Rawicz i znów należał do czołówki żużlowców 2 ligi. Ze średnią 2,044 pkt/bieg zajął 9 miejsce wśród zawodników trzeciego poziomu polskich rozgrywek ligowych.
Damian Drożdż największe sukcesy odnosił jako zawodnik młodzieżowy. W 2015 r. reprezentując barwy Sparty Wrocław wywalczył trzecią pozycję w finale Brązowego Kasku.
W tym samym roku z młodzieżowcami Sparty został mistrzem Młodzieżowych Drużynowych Mistrzostw Polski, a w roku 2017 zajął w tych rozgrywkach drugie miejsce.
Z rozgrywek o Drużynowe Mistrzostwo Polski Damian ma trzy medale wywalczone ze Spartą Wrocław. Dwa srebrne (2015 i 2017) oraz jeden brązowy (2018).
W sezonie 2022 Damian Dróżdż ponownie będzie reprezentował barwy Kolejarza Rawicz.
Statystyki Damiana Dróżdża podczas startów na torach żużlowych w Polsce:
| SEZON | WIEK | KLUB | KLASA | M | BIEG | I | II | III | IV | D | U | W | T | PKT | BON | RAZEM | ŚR/B |
| 2013 | 17 | Opole | 2 Liga | 2 | 6 | 0 | 0 | 2 | 4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 0 | 2 | 0,333 |
| 2014 | 18 | Opole | 2 Liga | 10 | 41 | 3 | 4 | 12 | 14 | 1 | 1 | 5 | 1 | 29 | 3 | 32 | 0,780 |
| 2015 | 19 | Wrocław | Ekstraliga | 4 | 10 | 0 | 1 | 5 | 4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 7 | 1 | 8 | 0,800 |
| 2015 | 19 | Gniezno | 1 Liga | 2 | 6 | 0 | 1 | 2 | 2 | 0 | 0 | 1 | 0 | 4 | 0 | 4 | 0,667 |
| 2016 | 20 | Wrocław | Ekstraliga | 17 | 56 | 5 | 5 | 13 | 29 | 1 | 0 | 3 | 0 | 38 | 6 | 44 | 0,786 |
| 2016 | 20 | Częstochowa | 1 Liga | 1 | 4 | 1 | 0 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 5 | 0 | 5 | 1,250 |
| 2017 | 21 | Wrocław | Ekstraliga | 17 | 52 | 4 | 14 | 18 | 16 | 0 | 0 | 0 | 0 | 58 | 14 | 72 | 1,385 |
| 2017 | 21 | Krosno | 2 Liga | 4 | 22 | 7 | 8 | 4 | 2 | 0 | 0 | 1 | 0 | 41 | 2 | 43 | 1,955 |
| 2018 | 22 | Wrocław | Ekstraliga | 8 | 17 | 0 | 1 | 3 | 12 | 1 | 0 | 0 | 0 | 5 | 1 | 6 | 0,353 |
| 2019 | 23 | Częstochowa | Ekstraliga | 2 | 5 | 0 | 2 | 0 | 3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 4 | 0 | 4 | 0,800 |
| 2019 | 23 | Poznań | 2 Liga | 3 | 14 | 4 | 2 | 4 | 4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 20 | 1 | 21 | 1,500 |
| 2020 | 24 | Krosno | 2 Liga | 9 | 41 | 18 | 10 | 7 | 4 | 0 | 0 | 2 | 0 | 81 | 7 | 88 | 2,146 |
| 2021 | 25 | Rawicz | 2 Liga | 14 | 69 | 28 | 12 | 11 | 9 | 0 | 0 | 0 | 0 | 130 | 11 | 141 | 2,044 |
| RAZEM: | 93 | 343 | 70 | 60 | 83 | 104 | 3 | 1 | 12 | 1 | 424 | 46 | 470 | 1,370 |
